Lokálne extrémy funkcie dvoch premenných

LOKÁLNE EXTRÉMY FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH BEZ VäZBY

       Pri výpočte lokálnych extrémov funkcie dvoch premenných sa používa determinant druhého stupňa

Determinant druhého stupňa je daný vzťahom, prvky determinantu a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂ sú reálne čísla.

Napríklad: 

    > 0

  < 0

   = 0

Nech bod M₀ = [x₀,y₀] je stacionárny bod funkcie f(x,y) a nech má funkcia v bode M₀ spojité parciálne derivácie 2. rádu.

Nech determinant 

Potom má funkcia f(x,y) v bode M₀ lokálny extrém, a to:

1) lokálne minimum, ak súčasne platí 

2) lokálne maximum, ak súčasne platí 

Ak pre determinant platí D < 0 , tak funkcia f(x,y) v bode M₀ nemá extrém.

VIAZANÉ LOKÁLNE EXTRÉMY FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH

Nech z = f(x,y) je funkcia s definičným oborom D(f), nech M je množina bodov, ktoré spĺňajú rovnicu g(x,y) = 0, označme G = M  D(f). Lokálne extrémy funkcie f(x,y) na množine G nazývame viazanými lokálnymi extrémami a rovnicu g(x,y) = 0 nazývame väzba (podmienka, obmedzenie).

Pri hľadaní viazaných lokálnych extrémov funkcie z = f(x,y) s väzbou g(x,y) = 0 môžme použiť nasledovnú metódu

 Dosadzovacia metóda výpočtu viazaných lokálnych extrémov

Rovnica väzby g(x,y) = 0 určuje jedinú funkciu .

Potom môžeme funkciu  dosadiť do funkcie z = f(x,y) za premennú y. Vytvoríme tak funkciu jednej premennej z =  =F(x). Lokálne extrémy funkcie F(x) zistíme metódami pre hľadanie lokálnych extrémov funkcie jednej premennej.